วันอาทิตย์ที่ 25 พฤศจิกายน พ.ศ. 2555

พีทาโกรัส

พีทาโกรัส (582 — 496 ปีก่อนค.ศ.; กรีก: Πυθαγόρας) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณ, เป็นที่รู้จักในนามเจ้าของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
พีทาโกรัสได้ชื่อว่าเป็น"บิดาแห่งตัวเลข" พีทาโกรัสไม่เพียงแต่มีความสำคัญต่อคณิตศาสตร์ เขายังได้สร้างสรรค์ความคิดหลายอย่างให้กับปรัชญาและศาสนา ในปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล ถึงทุกวันนี้ เราไม่สามารถที่จะพูดถึงชีวประวัติของพีทาโกรัสได้ด้วยความแน่นอน เพราะตำนานและเรื่องเล่าต่างๆ นานาปิดบังข้อเท็จจริงของชีวิตพีทาโกรัสมากกว่าปราชญ์ใดๆ ในยุคก่อนโสเครติส

ประวัติ
    พีทาโกรัสเกิดเมื่อ 559 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองซามอส (Samos) ประเทศกรีซ (Greece)[1] และเป็นบุตรชายของพีทาอิส และ เนซาร์คัส พีทาโกรัสได้ออกจากบ้านเกิดเมืองนอนของเขาไปที่โครโทน (Croton) ในทางใต้ของอิตาลีเมื่อเขาเป็นชายหนุ่ม เพื่อที่จะหลีกหนีจากรัฐบาลทรราชของโพลีเครติส และผู้เชี่ยวชาญหลายคนคาดคเนว่าก่อนที่พีทาโกรัสถึงเมืองโครโทนนั้น เขาได้เยี่ยมเยียนนักปราชญ์ของอียิปต์และบาบีโลนก่อน เมื่อเขาได้ย้ายถิ่นฐานจากซาโมสมายังโครโทน พีทาโกรัสก็ได้ก่อตั้งสมาคมศาสนาลับ ที่คล้ายคลึงกับลักธิออร์เฟอัสที่มีอยู่ก่อนหน้านั้น
ณ เมืองโครโทนพีทาโกรัสได้จัดปฏิรูปวัตนธรรมของชาวโครโทน โดยแนะให้ชาวเมืองทำตามจริยธรรมและสร้างกลุ่มสาวกของพีทาโกรัส จากนั้นพีทาโกรัสก็ได้เปิดสถานศึกษา โรงเรียนของพีทาโรกัสเปิดรับทั้งชายและหญิง แต่ผู้ที่จะเข้าร่วมจำเป็นต้องสละทรัพย์สิน กินอยู่แบบมังสวิรัตที่โรงเรียน และเรียกตัวเองว่ามาเทมาทิคอย (Mathematikoi) คนอื่นๆ ที่อยู่ในพื้นที่ใกล้เคียงก็สามารถเข้าเรียนได้ด้วย แต่จะไม่จำเป็นต้องสละทรัพย์สิน หรือใช้ชีวิตแบบมังสวิรัต
พวกพีทาโกเรียน
     สาวกของพีทาโกรัสได้ชื่อว่าพวก"พีทาโกเรียน" ผู้ที่เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ที่บุกเบิกเรขาคณิต พวกพีทาโกเรียนยังมีความเชื่อเรื่องการกลับชาติมาเกิด และ ความเชื่อว่าตัวเลขเป็นธรรมชาติที่แท้จริงของทุกสิ่ง. พวกเขาปฏิบัติพิธีกรรมล้างมลทิน ปฏิบัติตามกฏการกินอาหาร และกฏอื่นๆ ซึ่งพวกเขาเชื่อว่าการปฏิบัติเช่นนี้จะทำให้พวกเขาเป็นอิสระจากวงจรการเกิดใหม่
พวกพีทาโกรัสยังเชื่ออีกเรื่องความเสมอภาคของชายและหญิง พีทาโกรัสเองริเริ่มโรงเรียนของเขาพร้อมด้วยภรรยาของเขา ทีอาโน (Theano) และหลังจากที่พีทาโกรัสได้ตายไปแล้ว ทีอาโนและลูกได้สอนต่อที่โรงเรียนของพีทาโกรัส
พวกพีทาโกเรียนปฏิบัติต่อทาสอย่างดี และสัตว์มีฐานะเป็นสิ่งมีชีวิตที่มีวิญญาณ พวกพีทาโกเรียนยังเชื่ออีกว่าการชำระล้างวิญญาณที่สูงที่สุดคือ"ปรัชญา" หลายสิ่งที่พวกพีทาโกเรียนปฏิบัตินั้นเหมือนกันกับสิ่งที่พวกเจนในอินเดียปฏิบัติ ทำให้ผู้เชี่ยวชาญหลายท่านสันนิษฐานว่าพีทาโกรัสเองเคยได้ศึกษาอยู่กับพวกเจนในอินเดีย
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
    ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้
ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง[1]
a^2 + b^2 = c^2\!\,
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์[2][3] แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์[4][5]
ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง สแตมป์และการ์ตูน

รูปอื่น
ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของอีกสองด้านที่เหลือแล้ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้
a^2 + b^2 = c^2\,
ถ้าทราบความยาวของทั้ง a และ b ค่า c จะสามารถคำนวณได้ดังนี้
c = \sqrt{a^2 + b^2} \,
ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้
a = \sqrt{c^2 - b^2} \,
หรือ
b = \sqrt{c^2 - a^2} \,
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้ อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การพิสูจน์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น หนังสือ The Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370 แบบ[6]

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
 
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมใหม่

การพิสูจน์โดยการจัดเรียงพื้นที่
 
 
 
 
 
 
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยกล่าวไว้ดังนี้[7]
กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ a^2+b^2=c^2 จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า
สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า a^2+b^2=c^2 แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90°
บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย[8]
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ a^2+b^2=c^2 เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
  • ถ้า a^2+b^2=c^2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • ถ้า a^2+b^2>c^2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
    • ถ้า a^2+b^2<c^2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน 
ผลงาน
         
 เนื่องจากเราไม่ทราบแน่ชัดว่าผลงานชิ้นใดเป็นของปีทาโกรัส ผลงานชิ้นใดเป็นของสานุศิษย์ของท่าน จึงจะกล่าวรวมๆ ว่าเป็นผลงานของสำนักปีทาโกเรียน
           การค้นพบความมหัศจรรย์ของจำนวนบางคู่ เช่น จำนวนแห่งมิตรภาพ จำนวนสมบูรณ์ จำนวนบกพร่อง จำนวนอุดม
           จำนวนเชิงรูปภาพ เช่น จำนวนเชิงสามเหลี่ยม ซึ่งได้แก่ 1, 3, 6, ... จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งได้แก่ 1, 4, 9, ...
           ทฤษฎีเรื่องสัดส่วน
           ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
           พีชคณิตเชิงเรขาคณิต
           ทรงหลายหน้าปกติ
           จำนวนอตรรกยะ



ขอขอบคุณแหล่งที่มาที่ใช้ในการศึกษา




เขียนโดย ที่

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)